Đa thức tối tiểu là bất khả quy. Chứng minh: xét mở rộng trường E/F như trên, α ∈ E và f ∈ F[x] là đa thức tối tiểu của α. Giả sử điều ngược lại, f = gh, trong đó g, h là các đa thức thuộc F[x] với bậc nhỏ hơn f. Do trường cũng là miền nguyên và f(α) = 0 nên ta phải có g(α) = 0 hoặc h(α) = 0. Điều này mâu thuẫn với giả thiết f có bậc nhỏ nhất. Do đó điều giả sử là sai, f là đa thức bất khả quy.